martes, 9 de agosto de 2011

Sucesión de Fibonacci y la Naturaleza

La espiral de Fibonacci: Curiosidad optica en la naturaleza

La serie de Fibonacci es muy conocida entre los matematicos ( y en general por los aficionados a las matematicas) y se forma sumando los 2 elementos anteriores de la serie , es decir: 1,1,2,3,5,8,13,21…
Aparentemente es una serie matematica sin mas relevancia, pero no , ademas de ser muy importante en diversas teorias , es muy curioso como esta serie aparece en la naturaleza de una forma “óptica”.
Asociado a la serie , está la espiral de Fibonacci , que se construye siguiendo la serie y conectando las esquinas opuestas de los cuadrados de medida igual a cada elemento de la serie , bueno , parece algo complicado, pero en el grafico se ve sin problemas:

Si trazamos la espiral que se forma, queda de la siguiente manera:


Dónde encontramos esta espiral

semillas girasol

huesos de la mano

 caparazón de caracol

 plantas


"La parte externa de una piña piñonera tiene espirales que van en sentido de las manecillas del reloj y otras que lo hacen en sentido contrario, y la proporción entre el número de unas y otras espirales tiene valores secuenciales de  Fibonacci.

También en el  la distribución de las hojas alrededor del tallo

Vista lateral

 Vista desde arriba
 

jueves, 4 de agosto de 2011

............la geometría de la Naturaleza

Es la misma Naturaleza, y no el matemático, quien introduce las matemáticas en la filosofía natural

I. Kant

¿Qué altura puede alcanzar un árbol?

Euler en 1778 ya respondió a esta pregunta demostrando en su obra “De altitudinem columnarium...” que un árbol no puede crecer indefinidamente ya que, como la espiga de trigo acabaría doblándose sobre su propio peso si se desvía un poco de la perpendicular. Galileo ya había sugerido los 90 metros como altura máxima.

Greenhill demostró que el diámetro de un cuerpo homogéneo y alto debe aumentar con la potencia 3/2 de su altura.

Porque la naturaleza sabe de... máximos y mínimos; de ahorro, eficacia, economía y optimización. Por eso, el mundo vegetal tiene sus propias leyes físicas, que condicionan el crecimiento y las formas de sus elementos, que responden siempre a principios de optimización, economía de medios e interacción con el medio exterior.

En un mundo perfectamente aislado, en un fluido homogéneo, un ser vivo adoptaría la forma de una esfera o de un círculo, el ideal platónico, la forma perfecta:
La máxima superficie con el mismo perímetro
El máximo volumen con la misma superficie
¡La forma más democrática e igualitaria! La esfera protege y minimiza los riesgos de agresiones externas. De hecho muchas semillas tienen forma esférica; las hojas de las plantas acuáticas tienden a la forma circular.
Pero en un mundo hostil todo ser vivo necesita competir con otros individuos, luchar por el espacio, el alimento, o la luz... y defenderse de las agresiones externas. A las formas circulares les salen ángulos.
Los ángulos disuaden de los ataques externos, concentran las fuerzas y la posibilidad de penetración y conquistan espacios.
Las hojas se irán alejando de sus formas redondas para acabar convertidas en agujas en los casos extremos.
Y si trata de rellenar espacios con el mínimo de huecos, las semillas nos darán una lección de empaquetamiento óptimo, curvándose en espirales y cerrando el círculo...
Si por el contrario hay que maximizar la superficie para intercambiar gases con la atmósfera, o absorber el máximo de luz, la ramificación fractal vendrá en ayuda de la planta.
Si hay que lanzar avanzadillas para conquistar nuevos terrenos o agarrarse a algo para subir más alto, las hélices se incrustarán en las claves genéticas de los vencedores para generaciones posteriores...

En el fabuloso universo vivo del Jardín Botánico nos vamos a encontrar un poema de formas que pueden interpretarse a la luz de las matemáticas y de las leyes físicas, pues todo fenómeno natural, y el crecimiento de las plantas lo es, por sencillo que parezca es en realidad compuesto; y todo efecto visible es la suma de incontables acciones subordinadas. Y las matemáticas manifiestan en este terreno su poder de combinar, relaciones y generalizar.

El crecimiento y las formas de los seres vivos participan de esta naturaleza compuesta y por tanto las matemáticas pueden aplicarse a ellos revelando la potencia de sus métodos.

Los códigos genéticos de las plantas también se basan en el principio de mínima acción, es decir, buscarán la mayor economía a la hora de generar instrucciones de crecimiento. La simetría, axial, central o de giro y la autosemejanza en las distintas etapas de desarrollo de la planta van a abundar en el entorno vegetal. La iteración de instrucciones simples van a hacer a muchos ejemplares de plantas parecerse a estructuras fractales

Helecho natural
Helecho de Barnsley, generado por ordenador


Más regularidades de lo que parece...

Las hojas de las plantas suelen crecer en torno a un “nodo” o punto de crecimiento nulo o mínimo. Si no fuera así su forma se aproximaría a un círculo. Observa estas tres figuras:
La primera es una curva reniforme de ecuación
en el interior de un una circunferencia. Las otras dos son las siluetas de hojas de violetas.
Incluso cuando la hoja es compuesta, como esta de castaño, se aproxima bastante a una curva de carácter matemático, en este caso a